水无常形而化万物等积变形教学反思

编者语：

唐彩斌老师曾经说，再高层次水平的数学学习都离不开做题，关键是做怎样的题。决定学生数学素养的，不是题的数量而是质量，衡量一个学生的获得也不再是题目的多少而是思维能力的发展。优秀的数学教师要把“题海”留给自己，精心梳理筛选题目，沟通题目之间的联系，把握数学本质，凸显题目背后的思想方法。

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水无形而有万形。说“水无形”，是因为它不断处于变化之中；说水“有万形”，是因为它随环境改变而变化自己的形态。不断的变化，也就是灵活，常被人们用来描述一种处世精神。在数学图形与几何领域，常借“水无形，因器而形”，将立体图形的容积，利用水的这种特性去展开研究，所以我改为“水无常形而化万物”。

一、由例题联想至“水无常形而化万物”.

例1.“如下图，瓶中液体的体积mL，这个瓶子的容积是多少毫升？”

上面左图中,V瓶＝V水＋V空，其中V空是瓶颈与瓶嘴两种不规则形状的组合，很难直接求体积。

于是，有了右图，通过“倒置”将左图中V(不规则空)变成右图中V(规则空)，也就是5cm高的圆柱的体积。这样一来，V瓶＝S底×（20＋5）。

首先，利用V水＝S底×20，逆向求底面积，也就是÷20＝12（平方厘米）；接着再用V瓶＝S底×（20＋5）＝12×（20＋5）＝（立方厘米）。

看似很难的问题，利用水的特性，变不规则为规则得解。

例2.“把一圆锥形铁块，完全浸没在一个底面积是20平方厘米的圆柱形容器中，水面上升了6cm，这个圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？”

关于圆锥形铁块，大多数同学可能会想到：V锥＝1/3Sh＝1/3×20×6。稍用心稍留意，就会注意到：“完全浸没”“水面上升”，就可以转化为V锥＝V上升水。也就是V锥＝V(上升水)＝Sh＝20×6＝(立方厘米)。这个问题的解决再次利用了水的特性。

例3.一个棱长4dm的正方体容器装满水后倒入一个底面积是12dm2的圆锥形容器，正好装满。这个圆锥的高是多少分米？

“倒入”、“正好装满”，这两个词，利用水的特性，可以转化成“V锥＝V正”，用列方程的方法很容易求解。

二、由“水无常形而化万物”推至更多相似物体。

例1.把一根底面直径4dm,长20dm的圆柱形钢材，熔铸成一个底面积是9.42平方分米的圆锥。圆锥的高是多少dm?

貌似这里全是金属，跟水的特性没有任何关系。如果了解“熔铸”一词，是指将“圆柱钢化成水，再浇铸成圆锥”。你就能确定“V锥＝V柱”，用列方程的方法求锥高即可。

例2.一个圆锥形沙堆，底面直径是40m，高是1.5m。用这块沙铺一条10m宽的路，铺的厚度是10cm，能铺多少m？

试想这里“铺”一词，利用了沙子和水一样易流动、易塑形的特点，是指将“圆锥形沙堆，改形为长方体”。它也就决定了“V锥＝V长”，用列方程的方法求长方体的长。

这样分析下来，众多繁杂的“等积变形”的题目，就变得清晰明了起来，把握“无形水”到“有形水”，“形变”但“体积不变”的本质，“以不变应万变”，问题解决自然轻松。

审核/编辑贺晓梅WomensDay