精彩一课玩转空间，看见思维

“空间观念”是数学学科中，学生需要发展的核心素养之一，本文从“谁的容积大”一课入手，利用现代化教学工具“几何画板”，分析、还原学生在“空间观念”学习上的思维过程，帮助学生突破认知瓶颈。通过让纸上的二维平面图形三维化，让其站起来、转起来、活起来，直观地认识空间。探讨了三维建模对于打破惯有的二维思维影响，发展高阶空间想象能力的实效性。

什么是“空间观念”？

课标上是这样说的：空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。

我觉得能让纸头上的图在大脑中站起来，能让它转动，能把它展开，能把它分解，可以把这些说出来画出来，像这样的一种意识就是空间观念。空间观念是创新精神所需的基本因素，许多的发明创造都是以实物的形态呈现的，都是设计者先根据想象画出设计图，然后再做出模型，最后才完善成功的。在这过程中空间观念起着非常重要的作用，那么发展学生的空间观念就尤为重要。

下面以五年级第二学期第六单元“谁的容积大”复习课谈谈空间观念的培养。

这是上海教材五年级第二学期第六单元总复习里面，关于图形与几何的一道练习题，在数学书的页。这样的问题是不是似曾相识，在三年级中，面积不变，怎么围，周长最大？周长不变，怎么围，面积最大？但在这里是有所区别的，原来探究的是周长与面积的关系，现在是面与体的关系。我想看看学生探究的策略方法掌握得如何？能否以这个内容为载体进一步培养学生的空间观念，几何直观能力？于是我把这一题演绎成一堂课。

如果这样呈现情境，学生按部就班地解决是没有困难，能力发展空间较小。所以我将情境做了如下修改：

媒体出示：小巧和小亚两人想利用一个长24厘米，宽16厘米的长方形铁皮，在四个角上各剪去一个小正方形，做成一个无盖的长方体盒子，在选取小正方形的边长时，小巧、小亚分别提出2厘米、3厘米的方案，谁做的盒子容积大？

生1：一样大的！都是一张纸折出来的肯定一样大的。

生2：不对，剪去2cm的大，因为剪得少，剩下的就大了！

师：谁的想法是正确的呢？需要验证。

能想象得出长方形剪、折变成长方体的就让他们去想象获得数据，想象有困难的就给他们一张这样的方格纸，让他们剪一剪、折一折。

师：剪得多反而大，剪得少的反而小，那么1cm的情况呢？

生：越来越小的。

师：再来验证下。

学生继续验证，让他们再次经历想象从面到体、找数据计算的过程，巩固解决问题的方法。

有了黑板上的三个数据，学生就像发现新大陆一样。

生1：老师，我发现了剪得越多容积肯定越大！

生2：不一定的，也许变大也许变小的。

在解决问题中，学生需要阅读文字，将文字“翻译”成图，甚至动态“折”的影像，在不断地建模中，学生在大脑中不断地在几何体与三视图、展开图之间的转化，不仅能解决实际问题还便于学生发现隐藏的规律，更重要的是空间观念得到了发展。

师：你们有办法解决吗？

生：那就多举些例子来看看。

让他们小组合作，4cm、5cm、6cm，学生不断地再把面转换成体，寻找长宽高，计算容积，乐此不疲！初步感知到容积并不是越来越大的。

为了凸显几何直观，让学生直观感知，我利用几何画板做了这样一个课件。

学生经历不断地建模后是一个个单独的长方体，虽然有了一定感悟，但是很难想象整个变化过程。然而这样的变化过程正是学生所需要的表象性的过程，可以帮助学生从表象走向抽象，符合空间观念的培养，更有利于空间想象力的培养。

师：那正方形边长可以比1cm还小吗？会是什么样的？可以一直小下去吗？

生：很扁，像一张纸，无法装东西，不能等于0但靠近0。

师：正方形边长可不可以一直大下去呢？

生：不行的，超过8就没法剪了，最多靠近8，也没法装东西了。

学生在这样的观察中知道，正方形边长不能为0和8，容积也不是越来越大的。

学生有了表象性的过程，有时课件也没法演示出极限的情况，然而让学生经历这样的想象力的培养，空间观念就能得到更大的发展。

收获和体会

1让图“站”起来，帮助学生三维建模

其实像无盖长方体盒子这样的几何体在学生头脑中已经是有表象的，但在大脑中完成从一张铁皮通过剪折变成长方体，也就是二维到三维的建构，学生空间能力是薄弱的。这样的建构过程的体验和积累是有助于学生空间观念的培养的，也有利于问题解决。培养学生的空间观念，只凭观察老师在黑板上画图是不够的，更重要的是鼓励学生“做几何”。荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为:“数学学习是一种活动，这种活动与游戏、骑自行车是一样的，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示，是学不会的。”

2让图“转”起来，不被惯有的二维思维影响

在片段3中，大部分学生通过观察发现数据是呈现递增趋势的，得出了容积会变大的结论。在这过程中，学生肯定也和头脑中的模型进行了沟通，认为高在变高容积肯定变大，因为容器变深了。但是他们忽略了影响容积大小取决于三个数据，学生只是从一维上考虑高的变化，忽略了底面积的变化。说明学生对于三维立体图的变化，这一部分的空间想象能力还是比较缺失的，也是我们教师需要在平时的课程中，寻找合适的素材让学生去体会和经历的，弥补空间观念中我认为比较高阶思维能力。

3让图“活”起来，发展高阶的空间想象能力

并不是所有的立体几何，都适合或者让学生有时间在剪一剪、折一折的，没有实物图形既视感。如何让学生在脑海中搭建出正确的空间图形，如何在此基础上解构，化三维为二维的平面计算。特别是这一变化过程是很难用实物来演示过程的，所以我利用几何画板制作了这一个课件。画图工具、动态几何（几何画板）是表征几何概念的有力的工具，这些可视化的操作能帮助学生学习重要的几何概念,允许学生很快、很容易地操作二维图形和三维图形的模型。用具体的实物演示和动手操作是很难达到这样的效果，这种灵活性允许学生







































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