小学五年级下数学期末总复习一

课程内容：

《长方体与正方体的应用问题：物体浸入水面的有关计算》

课程时间：

年6月15日

课程地点：

考拉英语艺术学校（大连沙河口区西安路天兴·罗斯福襄平街38号）

课程预约

（数学：Gaspar王），（英语：Jojo王）

课程思路：

在讲课程之前，我先让孩子们准备几个数学问题来问我。其中有一个孩子问我：“老师，六边形的面积怎么计算呢？”我说这个孩子问的问题很好。

各位看官很是疑惑，我今天要讲得是正方体和长方体，都是立体图形，人家孩子问得是平面图形问题，怎么可能和今天的教学内容有关呢？让我们仔细想一想，学习这一章节，老师会在课堂上无非就讲正方体和长方体有多少条棱、多少个顶点、多少个面，以及它们的表面积和体积怎么求，最后再引申一下容积是什么。此为这一章的通常讲课思路。

我的思路不同：第一，以上问题都是基础中的基础，讲得太多浪费时间，孩子也没有兴趣；第二，反复地讲，真得没有什么意思。那就请各位看官指教一下我的思路，运用到教学上合不合理。

内容一：

六边形求解方法→引申任意多边形求解方法

谈到这里，有些看官会说我讲得超出考试范围，但是我是在解决孩子提出的问题，即使是超纲了，孩子问了，只能说是孩子在做题的时候遇到了这样的问题，讲讲也无妨。再说了，现在小学的考题有多少是不按套路出牌。

提到六边形，我们想到的是六条边都相等的正六边形（每一个内角为°），还有就是不规则的六边形。

（一）解决正六边形面积问题→引申正多边形面积问题

事实上很简单，我只要做出六边形的外接圆（在这里我会给孩子们解释一下什么是外接圆，或者就是一句话概括“正六边形的六个顶点在一个圆上”）；然后我连接正六边形中过圆心的对角线，即可以得到六个可以完全重合的等边三角形（正三角形）；求三角形的面积方法无非就是底乘以高再除以2，六个相等的三角形，只要求出其中的一个三角形的面积再乘以6就可以得到答案。这样看来求任意一个正N边形面积的方法和求正六边形的方法是一样的，它的步骤总结如下：

1.画出正N边形的外接圆，并找出圆心；

2.画出过圆心N边形的对角线；

3.将正N边形平均分成N个完全重合的三角形；

4.用三角形的面积公式“三角形面积=底*高/2”求出一个三角形面积；

5.用一个三角形的面积乘以N（N边形的变数即使分成三角形的个数），即是正六边形的面积。

自创口诀：

外接圆，找圆心；过圆心，对角线；一三角，求面积；乘边数，得结果。

（二）解决不规则六边形面积问题→引申不规则多边形面积问题

对于基础班的孩子，我只是轻描淡写地讲了一种方法，引出了一个他们曾经学习的知识点；对于提高班的孩子，我还讲了“方格法”，也就是小学奥数会学到了“皮克定律”。

1.分割法：

把一个N边形沿着一个顶点，画出N边形的对角线，这样就把N边形分成了（N-2）个三角形，作出各个三角形底边上的高，运用三角形的面积公式分别求出每个三角形的面积，最后结果相加，就可以求出这个N边形的面积。

事实上，我引出了一个定理“N边形的内角和”：定理内容：任意一个凹、凸（这个可以讲可以不讲，我觉得不是那么重要）N边形，都可以分画为（N-2）个三角形，因此N边形内角和为（N-2）*。

基础班点到为止。

2.方格法（皮克定律）：

皮克定律是奥地利数学家乔治·亚历山大·皮克在年提出来了（现在的孩子对历史故事非常感兴趣，这里也就简单介绍一下），它的内容如下（这里不着重讲公式是怎么推到的，讲多了也没有用）：

1.讲多边形放入一张方格纸中（上面画着横纵两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等），尽量使多边形的顶点在方格纸的交点上；

2.数出多边形内部的点数，记作a；

3.数出多边形外部的点数，记作b；

4.多边形的面积公式为S=2a+b-2，即S=a+b/2-1。

这段内容告一段落，很多人会说“好长的引题”呀，但是我接下来会告诉各位看官，我为什么这样讲，我的思路是什么。

内容二：

物体浸入水面的有关计算（长方体与正方体应用举例）

各位看官，注意了我的选题思路。

选题思路：

变型题较多；难度适中，有时为压轴题；学生错的多；与实践密切结合。

习题举例1：（让学生了解一下底面积，热热身）

一个长方体容器，长30cm，宽20cm，高10cm，里面水深6cm，如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少cm？

讲这道题，我只让孩子找两个量，变量和不变量：

在习题里，不变的是水的体积，水面高度是变化的，但其根本原因在于你选用的是多大的容器底面，即变量为容器的底面积。

思路出来了，我只要算出容器里面水的容积，再换一个底（除以竖过来的底面积），就可以算出水面的高度。

到这里我要进行习题拓展了。

通过“底面积”这个词，我想引出一个公式：V=Sh（体积=底面积*高），这个公式怎么用呢？

任意一个规则柱体（①两个底面相等且完全重合；②底面平行且侧面垂直于两底面），这个柱体的体积为：V=Sh。

讲到这里，我又讲了一下圆柱、正三棱柱、正六棱柱、正四棱柱（两底面是正方形，特殊的四棱柱是正方体，又叫做立方体），求以上立体图形的体积的公式都是底面积乘以高，而这些图形的底面积就是圆形、正三角形、正六边形、正方形，这里除了圆形的公式我没有讲，剩下的图形面积的求法，我在这堂课提到了。

习题举例2.3：（一起讲，两道题用一个图）

①一个长方体容器，底面积是16平方分米，高6分米，水面高2.5分米，现放入一块铁块，水面上升3分米，求这块铁块的体积是多少平方厘米？

②一个长方形容器，底面积是16平方分米，高6分米，水面高2.5分米，现放入一块体积为24平方分米的铁块，求这是水面的高度为多少分米？

这两道题很相似，它们区别在于求得量是不一样的；第一道题要单位换算，将分米换算成厘米。先说说这两道题的共同点：

1.都是把石块扔到水里，水没有溢出容器；

2.都是介绍了一个常识“石落水涨”；

3.长方体容器“高6分米”在解题时候用不上。

在学校里老师会讲“阿基米德定律”：物体完全浸入液面以下，物体的体积等于排开液体的体积；如果是我上课，我可能会讲这个原理，但是我更喜欢讲“曹冲称象”。不管讲什么都是一个道理，最重要的是让孩子记住了两个关键词“底面积”和“高度差”，也是解决这一类习题的关键：

第一道题：石块的体积=容器底面积*前后高度差

第二道题：前后高度差=石块体积/容器底面

综上所述：杯中沉物，水不溢出，找出“沉物体积”、“容器底面”和“高度差”即可，这类习题就是这三个物理量之间的转换问题。

习题举例4：（如果水溢出怎么办？）

一个正方体容器的棱长是2分米，倒入7升水，再找一块石头放入水中（完全浸没），有水溢出，取出石头后量得水深15厘米，石头的体积是多少立方厘米？

孩子们的第一感觉是：单位换算

根据我上一道题的思路：石块的体积=容器底面积*前后高度差，这里容器底面积可以求，高度差求出来，这道题就解决了。

关系式（孩子们都能找出）：

高度差=放入物体之后高度差-放入物体之前的高度差

两个关系量，画个图，孩子就可以轻松解决这道题。

习题举例5：

（没有题，只有图，画完之后孩子们在黑板上求解，正确率%）

以上就是我讲课的思路，我把列式解题部分留给孩子们独立列式解答。

这就是我的教学思路，您觉得怎么样？如果喜欢我请







































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