轻轻松松学习数学之圆柱和圆锥二

活学巧用

L?VE

和黄老师一起学数学

(☆_☆)

轻易不告诉别人哦

一、学习,要自觉;

二、方法,要掌握;

三、倾听,要专心;

四、读题,要仔细;

五、解题,要规范;

六、心态,要平和;

七、不懂,要多问;

八、优秀,属于你;

秘笈

会学习的孩子,会整理,会反思,会运用。让我们走进今天的学习——圆柱和圆锥的综合运用。

1、图形叠加:

有一个零件,是由三个圆柱体焊接而成(如图),它们的半径分别是1分米,2分米,3分米,高都是2分米。在这个零件的外面涂防锈漆,如果每平方分米需油漆2.5千克,每千克需要4元。涂这个零件需要多少钱?

思考:

首先考虑涂防锈漆和图形的表面积有关,再考虑图形的表面积包括哪几部分。我们可以发现,这个复合图形的表面积包括三个圆柱的侧面,上面的三个面可以看作一个大的圆面,再加上下面一个圆面。较难理解的就是:朝上的几个面刚好是一个大的圆面,如下图红色部分

解题:

S侧=1×2π×2+2×2π×2+3×2π×2

=4π+8π+12π

=24π(dm2)

S表=24π+32π×2

=24π+18π

=42π(dm2)

总价=42π×2.5×4

=42π×10

=π(元)

2、图形切割:

一个直径为4厘米,高为5厘米的圆柱形木材,如图切去1/4,求剩余部分图形的表面积和体积。

思考:

这个图形的表面积要仔细分析,其中侧面和底面都剩下原面积的3/4,但是却增加了两个长方形的面积。体积相对来说容易理解,还剩原体积的3/4。

解题:

2S底=22π×3/4×2

=6π(cm2)

2S长=2×5×2

=20(cm2)

S侧=4π×5×3/4

=20π×3/4

=15π(cm2)

S表=6π+20+15π

=21π+20(cm2)

V=22π×5×3/4

=20π×3/4

=15π(cm3)

思考:

和这类问题相似的,就是图形的镂空问题。

(1)如果在一个棱长为6厘米的立方体中挖去一个直径为4厘米的圆柱(直通相对的一个面),把所形成的物体完全放进水中,该图形和水接触的面积是多少?

思考:所形成的图形面积应该是原立方体的表面积,减去两个圆的面积,再增加一个圆柱的侧面。算式为:

S=63-22π×2+4π×6

=-8π+24π

=+16π(平方厘米)

(2)但是,如果圆柱的高为4厘米,则没有打通,那么所成图形的表面积又包括哪些部分呢?

思考:如上图,圆柱并没有上下打通,所形成的图形表面积,应该是一个立方体的表面积,加上一个圆柱的侧面积,立方体上面虽然减少了一个圆面,但是增加了一个圆柱下方的底面,可以用这个底面补上面缺少的底面。算式为:

S=63+4π×4

=+16π(平方厘米)

同样是一个立方体中挖去一个圆柱,也会产生不同的情况,数学学习真的需要非常严谨呢!同学们加油!

3、图形转换:

有一个瓶子(如图)内装饮料,液面高度为20厘米,如果把瓶子倒过来,则液面高度为25厘米,求该瓶子的容积。

(来自课堂作业本)

思考:

首先我们要明白,瓶子下方是圆柱,上方是不规则图形的,要把不规则的图形转换成规则图形,问题就解决了。同时我们又知道,倒过来后空的部分和正放时空的部分容积相等,如果把图一中空白部分转换成图二空白部分,整个瓶子的容积就成了一个圆柱的容积(如下图)。

转换后的圆柱,底面直径是12厘米,高是20+(30-25)=25厘米。

解题:

r=12÷2=6厘米

h=20+(30-25)=25厘米

V=62π×25

=π(cm3)

4、水面上升:

不规则图形的体积无法用公式直接计算,我们上期讲到可以把不规则图形完全放入圆柱形容器中,水面上升,上升的那一部分水的容积,就是不规则图形的体积。

其实,完全浸没水中是一种理想情况,今天我们还要来研究规则图形完全浸没水中和不完全浸没水中的问题。

(1)如下图,把一个长方体铁块放入装有水的大长方体容器中(水面高5厘米),容器中的水面会上升多少?(单位:cm)

思考:

因为水面高度为5厘米,铁块的高度为4厘米,所以放入水中后会完全浸没,则铁块的体积就是升高部分水的体积,用铁块的体积除以长方体容器的底面积,就是升高的高度。

解题:

V小=2×2×4=16cm3

h升高=16÷(4×3)=4/3cm

(2)如果把一个长方体铁块放入水中,水不足以让铁块浸没(如下图),容器中的水会上升多少厘米?

思考:

如果把这个铁块放入水中,浸没水中的铁块体积和升高部分水的容积相等。我们可以把水面升高的高度看出X厘米,则铁块浸入水中的高度就是5+X厘米。

解题:

解:设铁块放入水中后水面上升X厘米,则铁块浸入水的高度是5+X厘米

8×5×X=2×2×(5+X)

40X=20+4X

36X=20

X=5/9

答:水面上升5/9厘米。

画出示意图,对于理解题意并正确解答是很重要的。

5、综合运用:

新庄计划挖一口圆柱形的井,在比例尺是1:的设计图上,量得井的底面周长是25.12厘米,高15米。请你算一算,挖这口井需要挖出多少土:如果在井的内壁抹上水泥,每平方米需要0.52千克,共需要多少千克的水泥?(该题由朱姗姗老师提供)

思考:

这道题目既有比例尺的运用,又有圆柱的体积和表面积的知识,我们首先要根据比例尺和图上距离,求出周长和高的实际长度,再解决问题。其中,表面只要求一个侧面,底部用于渗水,顶部不封口。

解题:

1:00=1cm:cm

=1cm:1m

C=25.12×1=25.12米

h=15×1=15米

r=25.12÷2π=4米

V=42π×15

=16π×15

=π(m3)

S=25.12×15=.8m2

.8×0.52=.千克

师傅领进门,

修行在个人。

公式是死的,

方法是活的。

在求表面积和体积的道路上,让我们一起寻找捷径!

和黄老师一起学数学

玩数学|学数学|用数学









































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